Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости

ПЛОСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ГАУССА — КРЮГЕРА

Общие сведения

Конечная практическая цель триангуляционных и полигонометрических работ — определение положения геодезических пт на поверхности при­нятого референц-эллипсоида. Положение этих пт можно найти в разных системах координат. Нужно вычислять координаты пт в таковой системе, которая была бы ординарна и обеспечивала бы более комфортное и легкое Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости внедрение координат в различных практических целях. Таковой системой является система плоских прямоугольных координат. В этой системе вычисляют координаты пт съемочного обоснования, для которых координаты триангуляционных пт являются начальными, создают различного рода расчеты при проектировании и строи­тельстве различных инженерных сооружений и перенос проектов в натуру. Внедрение топографических планов значительно Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости облегчается, если на их нанесена сетка координатных линий в прямоугольной плоской системе коор­динат. Прямоугольные координаты геодезических пт нужны при использовании геодезических данных для оборонных целей.

Система геодезических координат имеет ряд плюсов; она более комфортна для решения научных задач высшей геодезии и в этой системе координат обычно обрабатывают триангуляцию 1 класса, но Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости она неудобна для широ­кого использования в обозначенных практических целях. Вправду, взаим­ное положение пт в этой системе определяется в угловых единицах (гра­дусах, минутках и секундах широты и долготы), при этом линейное значение этих единиц различно зависимо от широты места; направления меридианов. от которых отсчитываются азимуты Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости, не параллельны меж собой; вычисления с помощью геодезических координат, даже при малых расстояниях, сложны, трудоемки и требуют известной подготовки вычислителя.

Таким макаром, для практического использования более комфортна си­стема плоских прямоугольных координат.

Понятно, что поверхность эллипсоида не может быть развернута на пло­скость без искажений, потому и не может быть предложена Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости система плоских прямоугольных координат, в какой без искажений было бы выражено взаим­ное положение точек земной поверхности. Намеченная цель сводится к изо­бражению поверхности эллипсоида на плоскости по некому определенному закону. Математически таковой закон (либо проекция) в общем виде может быть выражен уравнениями

(1)

,

В этих уравнениях х и Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости у — плоские прямоугольные координаты изобра­жаемой на плоскости точки, выраженные как функции геодезических коорди­нат той же точки па поверхности эллипсоида. Если избрать под тем либо другим условием закон изображения точек эллипсоида на плоскости, то можно, поль­зуясь написанными формулами, получить формулы для перехода от расстояний и углов на поверхности Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости эллипсоида к подходящим расстояниям и углам на плоскости.

Законов изображения поверхности эллипсоида на плоскости может быть бессчетное огромное количество; разумеется, каждый закон изображения определяется видом функции f1 и f2 в уравнениях (1).

При выборе закона изображения эллипсоида на плоскости, т. е. функций f1 и f2 , приходится подразумевать, что лучше Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости обеспечить единой системой плоских прямоугольных координат всю местность страны, потому что этим самым будет сотворена база для единообразного вычисления результатов по­следующих геодезических работ и получения топографических планов в единой системе.

Определенные требования, которые следует поставить при выборе функций f1 и f2 :малое искажение изображаемых на плоскости частей поверх­ности Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости эллипсоида; легкость и простота учета искажений, хотя бы за счет неко­торого, естественно сравнимо маленького, роста самого размера этих искажений. Простота и легкость внедрения проекции и учета искажений — очень принципиальный показатель плюсы проекции, в особенности когда нужно перебегать от числовых значений геодезических координат пт к числовым значениям координат на плоскости. Поправки Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости за преломления либо за перенос частей триангуляции с эллипсоида на пло­скость и назад должны рассчитываться с ошибками, в 5—10 раз наименьшими ошибок конкретных измерений.

Если координаты опорных геодезических пт даны в проекции, то топографические планы не требуют какой-нибудь укладкч на плоскость методом соответственного их редуцирования. Графические Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости материалы съемок полу­чаются в принятой проекции и только числовые данные съемок в виде длин сторон и углов теодолитных и тахеометрических ходов, измеряемых не­посредственно на местности, должны быть исправлены за переход к проекции. Но в данном случае целенаправлено учесть только преломления длин с тем, чтоб в границах Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости определенной зоны масштаб изображений можно было считать неизменным. Это обусловливает выбор равноугольной либо конформной проекции, для которой угловые преломления при переходе с эллипсоида на плос­кость отсутствуют, а масштаб линейных искажений схож по всем напра­влениям. Этим облегчается учет искажений и редуцирование геодезических данных с эллипсоида на плоскость.

Но системы прямоугольных Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости плоских координат с единым началом, позво­ляющей показать точки всей поверхности эллипсоида на плоскости, практи­чески быть не может, потому что преломления становятся очень большенными. По­этому безизбежно разделение земной поверхности на части либо зоны, которые изображаются на плоскости одна независимо от другой, любая со своим на­чалом Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости координат. Если примем определенные условия в отношении величины и нрава искажений, то возникнут определенные требования к размерам и конфигурации этих зон. При выборе проекции следует стремиться к мини­мальному числу зон на местности данного страны. Не считая того, проекция Должна обеспечивать легкость перехода из зоны в зону и вероятное едино Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости­образие при вычислениях в различных зонах.

Обозначенным выше требованиям из числа имеющихся проекций наилуч­шим образом удовлетворяет конформная проекция Гаусса — Крюгера. Эту проекцию Гаусс предложил в 1825—1830 гг.; в 1912 г. Крюгер разработал детали внедрения и отдал рабочие формулы для вычислений в этой проекции, потому ее именуют проекцией Гаусса — Крюгера.

Главные сведения Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости

При использовании проекции Гаусса — Крюгера земной эллипсоид делится на зоны меридианами. Любая зона представляет собой сфероидический двуугольник, построенный от 1-го полюса до другого и ограниченный ме-

ридианами, для всей изобража­емой местности имеющими посто­янную разность долгот. Средний меридиан в каждой Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости зоне именуется осевым меридианом, и его долгота обозначается через L0. В СССР протяженность зон по долготе установлена в 6°, а в рай­онах, где предстоят топографиче­ские съемки в большом масшта­бе, — в 3°.

Граничные меридианы каждой шестиградусной зоны приняты со­впадающими с меридианами, ог­раничивающими западную и вос­точную рамки карты Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости масштаба 1 : 1 000 000 . Следова­тельно, осевые меридианы каждой зоны совпадают со средними ме­ридианами листов карты этого масштаба. Долготы осевых мери­дианов вычисляют по формуле 6n — 3, где п — номер зоны.

В системе трехградусных зон осевые меридианы размещены через 3° по долготе и совпадают попеременно с граничными и средними меридианами карты Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости масштаба 1 : 1 000 000.

В каждой зоне изображение осевого меридиана принимается за ось абсцисс, а изображение экватора — за ось ординат. Эти кривые на поверхности эллип­соида изображаются на плоскости прямыми линиями. Как следует, в каждой зоне имеется свое начало координат — скрещение осевого меридиана с эква­тором.

В проекции Гаусса — Крюгера осевой меридиан изображается без Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости иска­жения.

На рис. 1, а показана зона с номером п\ кривые РЕР' и РЕ1Р1 — гранич­ные меридианы; пунктирная кривая РР' — осевой меридиан, долгота которого Ь0 в системе шестиградусных зон 'определяется по формуле L0 = 6n— 3. Положение точки А, расположенной в этой зоне, определяется широтой В и долготой L, отсчитываемой Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости от осевого меридиана.

рис. 1 рис.2

На рис. 1, б показано изображение данной зоны на плоскости в проекции, кривые рерг и ре1р1 — изображения граничных меридианов; ровная ррг — изображение осевого меридиана, принимаемая за ось абсцисс, и ровная еег — изображение экватора, принимаемая за ось ординат.

Если а — изображение точки А на плоскости Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости, то ее положение определя­ется показанными на рис. 72 прямоугольными плоскими координатами х и у.

Проекция Гаусса — Крюгера конформна.. Напомним главные условия и характеристики конформного изображения: нескончаемо малый контур на эллипсоиде изображается схожим ему на плоскости; угло­вые преломления отсутствуют; масштаб изображения в каждой точке зависит только от координат данной Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости точки и не находится в зависимости от направления.

В проекции Гаусса — Крюгера поверхность шести- либо трехградусной воны изображается с видными искажениями, но достоинство проекции — сравнительная простота и высочайшая точность учета искажений в границах шести­градусной зоны, чем и обоснован выбор этой проекции в геодезии.

Пусть на эллипсоиде (рис. 2) дана Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости некая триангуляция, состоящая из треугольников АВС, ВСD, СDЕ; РО — осевой меридиан зоны, в какой размещена данная триангуляция. Пусть долгота этого осевого меридиана Lо,АР — меридиан, проходящий через точку А; А Т — касательная к эллип­соиду и параллельная плоскости осевого меридиана.

Угол меж направлением меридиана АР и Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости касательной А Т именуется геодезическим сближением меридианов и обозна­чается буковкой γ'.Угол меж направлением меридиана АР и геодезической линией АС есть азимут стороны АС; обозначим его через А'АС.Угол меж направлением касательной АТ и направлением А С есть геодезический дирекционный угол; обозначим его через Т'АС .Разумеется, для Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости эллип­соида получится равенство

ААС=Т'АС+у. (2.1)

Пусть на плоскости (рис. 3) в проекции Гаусса — Крюгера изображение тех же частей будет: точка а — изображение точки А; линия ор — изобра­жение осевого меридиана ОР; кривая ап—изображение меридиана, проходящего


рис.3 рис.4

через точку А; кривая аt — изображение касательной А Т; точки б и с Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости — соот­ветственно изображения точек В и С; кривые ab, ас, сb ... — изображения гео­дезических линий АВ, АС, СВ и т. д.

Потому что проекция конформна, то углы меж изображениями линий эллип­соида на плоскости не исказятся и будут соответственно равны Проведем через точку а линию, параллельную изображению осевого мери­диана Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости, т. е. оси абсцисс; обозначим ее через аЪг. Угол меж кривой, изобража­ющей меридиан точки а, т. е. ап, и этой прямой, параллельной оси абсцисс, именуется сближением меридианов на плоскости и обозначается буковкой V-

Вследствие конформности проекции углы треугольников триангуляции также перенесутся с эллипсоида на плоскость без Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости искажений, но эти углы, перенесенные на плоскость, относятся к треугольникам, соединенным кривыми аЬ, ас, сЪ и т. д., что фактически неловко. Для следующих вычислений соединим точки а, Ь, с с прямыми линиями — хордами. Тогда триангуляция на плоскости представится сетью плоских прямоугольных треугольников; ре­шение треугольников и другие вычисления можно Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости создавать по формулам прямолинейной тригонометрии. Но для этого нужно выполнить пере­ход от углов меж изображениями на плоскости геодезических линий, явля­ющимися кривыми, к углам, образованным прямыми линиями, соединяющими точки а, Ъ, с. По другому говоря, для каждой стороны триангуляции, поточнее для каж­дого направления, должна быть определена Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости поправка, представляющая собой малый угол меж кривой, изображающей геодезическую линию на плоскости, и хордой. Если кривая а/сЬ (рис. 4) — изображение стороны АВ на плоскости, а аЬ — хорда, соединяющая точки а и Ь, то угол меж направлением кривой аЬЪ (т. е. касательной к ней в точке а) и прямой аЪ Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости будет разыскиваемой поправкой, именуемой поправкой за кривизну изображения геоде­зической полосы на плоскости и обозначаемой буковкой б. Эти поправки и вводятся в измеренные направления для образования на плоскости треугольников с прямолинейными сторонами.

Вследствие малой кривизны полосы а/сb эти редукции малы и их вычисление, как увидим дальше, не представляет Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости особенного труда; при работах малой точности ими можно третировать. Угол меж прямой а*х, параллельной оси абсцисс, и хордой аb именуется дирекционным углом на плоскости и обозначается через Т.

Пусть на эллипсоиде начальной стороной триангуляции будет АВ. Длину геодезической полосы, соединяющей точки А и 5, обозначим 5„. Разумеется, при переходе на плоскость Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости расстояние меж точками а и Ъ не будет равно «0 вслед­ствие искажений проекции. Для перехода от расстояния АВ = з0 к расстоянию на плоскости меж точками а и 6 нужно ввести поправку, именуемую редукцией расстояний.

Числовые величины поправок за кривизну изображения геодезической полосы на плоскости и редукции расстояний по мере удаления от осевого Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости мери­диана растут. Как следует, для вычисления обозначенных поправок необ­ходимо знать координаты вершин треугольников, при этом вследствие малости поправок эти координаты довольно знать приближенно.

Изложенные сведения позволяют установить последующий порядок действий для перехода с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса — Крюгера, если начальными данными являются длина 50, азимут А Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости выходной стороны триангу­ляции и геодезические координаты В и I/ 1-го из исходных ее пт.

1. Переход от геодезических координат — широты В и долготы Ь началь­ного пт — к прямоугольным координатам х и у этого же пт в проекции Гаусса — Крюгера и вычисление для этого же пт сближения меридианов Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости на плоскости, позволяющего получить приближенное значение дирекционного угла начальной стороны по формуле

(2.2)

2. Приближенное вычисление сторон треугольников и подготовительных координат их вершин с внедрением вычисленных координат начального пт х и у и приближенного значения дирекционного угла, приобретенного по формуле (2.2).

3. Вычисление редукции длины начальной стороны за переход с эллипсоида на плоскость и Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости поправок за кривизну изображения геодезической полосы на пло­скости для каждого измеренного направления в триангуляции.

Вводя в длину начальной стороны и в измеренные направления эти поправки, получаем длину и дирекционный угол начальной стороны и направления, редуци­рованные на плоскость. После выполнения этих вычислений сеть становится приготовленной к Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости уравниванию и окончательному вычислению координат пт на плоскости.

4. Уравнивание триангуляции на плоскости; по уравненным углам окон­чательное вычисление сторон треугольников и окончательных прямоугольных координат всех пт триангуляции.

Систему прямоугольных координат Гаусса — Крюгера ввели в СССР в 1930 г. В связи с повышением объема топографо-геодезических работ воз­никла необходимость иметь Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости координаты опорной геодезической сети в прямо­угольной системе, при этом единообразно избранной. Плоские прямоугольные координаты применялись и до обозначенного времени; в землеустройстве — ко­ординаты Зольднера при личных началах координат в разных районах; в больших маркшейдерских геодезических сетях — свои системы координат при без помощи других избранных началах (к примеру, системы координат Бау­мана Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости в триангуляции Донбасса). Естественно, таковой разнобой в применении системы плоских прямоугольных координат затруднял внедрение материа­лов топографо-геодезических рабств общих целях, создавал неудобства при смы­кании съемок на граничных линиях районов, имеющих свои системы координат, вызывал необходимость различного рода перевычислений.

В связи с этим третье геодезическое совещание при Госплане Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости СССР в 1928 г. вынесло решение о необходимости введения системы координат Гаусса — Крю­гера, установило шестиградусную ширину зон по долготе, обусловило поло­жение осевых меридианов каждой зоны (как это обозначено выше) и наметило мероприятия для введения новейшей системы координат.

В 1930 г. были изданы составленные под управлением Ф. Н. Красовского Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости «Руководство, формулы и таблицы по применению прямоугольных координат Гаусса — Крюгера», что и содействовало введению этой системы координат в практику геодезических работ. После чего координаты Гаусса — Крюгера получили в СССР всеобщее распространение, и в текущее время во всех каталогах геодезических пт непременно помещают плоские прямоуголь­ные координаты в этой Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости системе.

Искажение длин на краю шестиградусной зоны может достигать величины

порядка , Потому ПРИ топографических съемках маленького и среднего

масштабов — 1 : 100 000, 1 : 50 000 — эти преломления во обоюдном положении точек при съемках не ощущаются. Учесть эти преломления нужно при постановке топографических работ обозначенных масштабов только при раз­витии съемочного обоснования в виде малых триангуляции, теодолитных Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости ходов и т. п. Измеренные длины линий исправляют методом введения поправок, выбира­емых из особых таблиц.

При крупномасштабных съемках, если они к тому же выполняются не гра­фическим, а числовым способом, в границах маленьких участков изменение масштаба становится приметным и его нельзя считать неизменным даже при не­больших расстояниях (20—50 км) от осевого Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости меридиана. При проектировании по карте либо перенесении проектов в натуру графическая точность масштаба карты и установленные допуски требуют учета размеров преломления. Значи­тельно больший объем конкретных измерений, требующих учета искаже­ний с большой точностью, не позволяет использовать шестиградусную зону для съемок большого масштаба без того, чтоб Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости не осложнить создание съемок и внедрение их результатов. Потому более просто и фактически комфортно в такового рода работах не использовать шестиградусные зоны. Для примера приведем описание внедрения этой системы координат в городских геодезиче­ских работах.

Понятно, что городские съемки, ведущиеся, обычно, числовыми способами, включают создание топографических 'планов масштабов от Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости 1 : 5000 до 1 : 2000 и крупнее. При всем этом целенаправлено использовать систему координат в последующем общем плане.

В качестве начального принимают пункт городской триангуляции 1 класса, расположенный, по способности, в центре городка и являющийся в то же время пт гос триангуляции либо имеющий с последней более надежную и маленькую связь. Меридиан, проходящий через этот пункт Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости, принимается за осевой. Этим достигается то, что все пункты городской опорной геодезической сети размещаются в конкретной близости от осевого меридиана, потому преломления проекции, а как следует, и поправки малы; это позволяет третировать ими, а в особо четких работах учесть не по полным формулам. Как следует, опорная сеть Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости при таком выборе осевого меридиана будет редуцирована на плоскость с наименьшими искажениями, почти всегда пренебрегаемыми. Для обеспечения близости в значениях координат меж этой местной системой координат и общегосударственной шестиградусной системой, для окончательного вычисления координат пт следует брать те координаты исходного пт, которые заданы из государ­ственной триангуляции. С этой Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости же целью следует ориентировать городскую триангуляцию по дирекционному углу 1-го из направлений с местного исход­ного пт, но отнесенному к осевому меридиану общегосударственной шести­градусной зоны. Различия в значениях координат, вычисленных в общегосу­дарственной и местной системах, будут независимо от порядка их вычислений, потому что базисы городских триангуляции приходится Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости редуцировать на среднюю уровенную поверхность городка. Но при таком выборе и порядке вычисления координат, который описан, неминуемые различия меж значениями коор­динат, вычисленными в общегосударственной и местной системах, будут мини­мальными, а материалы топографических съемок масштаба 1 : 5000 просто могут быть применены для муниципального картографирования.

Этот пример указывает, как можно применить проекцию Гаусса Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости — Крюгера на отдельном участке местности, на котором создают четкие съемки большого масштаба и который употребляется под строительство разно­образных инженерных сооружений.

Целенаправлено использовать шестиградусные зоны для вычисления координат муниципальных триангуляции, если сплошные топографические съемки муниципального значения ставятся в масштабе 1 : 100 000 и 1 : 50 000. В настоя­щее время приступили к сплошным аэрофототопографическим съемкам Основные сведения о конформной проекции Гаусса — Крюгера эллипсоида на плоскости в мас­штабах 1 : 25 000,1 : 10 000 и 1 : 5000. Для съемок в этих масштабах преломления при применении шестиградусных зон получаются значительными. Для районов этих съемок целенаправлено использовать трехградусные зоны.


osnovnie-publikacii-avtora-knigopechatanie-moskovskogo-gosudarstva-vtoroj-polovini-xvi-nachala-xvii-veka-v-otechestvennoj.html
osnovnie-publikacii-po-teme-dissertacii-formirovanie-gorodskoj-sredi-bajkalskoj-sibiri-v-xviii-pervoj-polovine-xix-v.html
osnovnie-puti-i-sposobi-vidoobrazovaniya.html